Articulated vehicle models ******************************************************************************** The linear version of this model is described by equations ?? and the nonlinear version of this model is described by equations ??. Description Bicycle model .. figure:: https://andresmendes.github.io/openvd/illustrations/modelArticulatedBicycleApprox.svg Free body diagram .. figure:: https://andresmendes.github.io/openvd/illustrations/modelArticulatedFreeBodyDiagram.svg The center of gravity of the tractor and semitrailer are located at the point :math:`T` and :math:`S`, respectively. The front and rear axles are located at the points :math:`F` and :math:`R`, respectively. :math:`A` is the articulation point and :math:`M` is the axle of the semitrailer. The constant :math:`a` measures the distance of point :math:`F` to :math:`T` and :math:`b` the distance of point :math:`T` to :math:`R`. The distance of the articulation from the rear axle of the tractor is given by :math:`c`. :math:`d` and :math:`e` are the distances from the semitrailer. The angles :math:`\alpha_F` e :math:`\alpha_R` are the front and rear slip angles, respectively. :math:`\alpha_T` is the vehicle side slip angle and :math:`\psi` is the vehicle yaw angle. :math:`\delta` is the steering angle. .. figure:: https://andresmendes.github.io/openvd/illustrations/misc/modelArticulated.svg Este modelo escrito na forma: .. math:: {\bf M}({\bf x}) \dot{{\bf x}} = {\bf f}({\bf x}) Where :math:`{\bf x}` is the state vector, :math:`{\bf M}({\bf x})` the mass matrix and :math:`{\bf f}({\bf x})` is the vector function. Therefore, a function that allows the integration of the system with an explicit mass matrix is necessary. In this package the _ode45_ function is used. Details: `ode45 (Mass matrix) `_. .. _vehicle-articulated-4dof: Articulated vehicle 4 DOF ================================================================================ O modelo físico do conjunto é ilustrado na figura \ref{modelSimple}. Para caracterizar a dinâmica deste sistema é utilizada a base :math:`\Omega_{\rm O} = \{ {\rm O} {\bf i} {\bf j} {\bf k} \}` fixa no referencial inercial. A base :math:`\Omega_{\rm T} = \{ {\rm T} {\bf t}_x {\bf t}_y {\bf t}_z \}` é solidária ao caminhão-trator e a base :math:`\Omega_{\rm S} = \{ {\rm S} {\bf s}_x {\bf s}_y {\bf s}_z \}` é solidária ao semirreboque. Os versores :math:`{\bf t}_x` e :math:`{\bf s}_x` apontam para frente na direção longitudinal de ambos os módulos e os versores :math:`{\bf t}_y` e :math:`{\bf s}_y` apontam para a esquerda. Para auxiliar a descrição das grandezas no eixo dianteiro é definida a base :math:`\Omega_{\rm F} = \{ {\rm F} {\bf e}_x {\bf e}_y {\bf e}_z \}` solidária ao eixo dianteiro com o versor :math:`{\bf e}_x` apontando para frente na direção longitudinal do pneu e :math:`{\bf e}_y` apontando para a esquerda. Os pontos :math:`{\rm T}` e :math:`{\rm S}` localizam o centro da massa do caminhão-trator e do semirreboque, respectivamente. :math:`{\rm F}` e :math:`{\rm R}` localizam os eixos dianteiro e traseiro, respectivamente. :math:`{\rm A}` é o ponto de articulação e :math:`{\rm M}` é o eixo do semirreboque. O ponto :math:`{\rm O}` é a origem do sistema e se encontra fixo no referencial inercial. A distância :math:`a` separa os pontos :math:`{\rm F}` e :math:`{\rm T}` e a distância :math:`b` separa os pontos :math:`{\rm T}` e :math:`{\rm R}`. :math:`c` separa os pontos :math:`{\rm R}` e :math:`{\rm A}`, :math:`d` separa os pontos :math:`{\rm A}` e :math:`{\rm S}` e :math:`e` separa os pontos :math:`{\rm S}` e :math:`{\rm M}`. Os vetores velocidade :math:`{\bf v}` e os ângulos de deriva :math:`\alpha` recebem os subscritos referentes aos pontos aos quais eles estão associados. A modelagem do caminhão-trator e semirreboque consiste na utilização de dois corpos rígidos que se movimentam sobre um plano horizontal e são unidos por um ponto de articulação. Desta forma, o modelo apresenta quatro graus de liberdade. Portanto, as coordenadas generalizadas podem ser dadas por .. math:: q_1 &= x \\ q_2 &= y \\ q_3 &= \psi \\ q_4 &= \phi, onde :math:`x` e :math:`y` são as coordenadas longitudinal e transversal do centro de massa do caminhão-trator, respectivamente. :math:`\psi` é o ângulo de orientação absoluta do caminhão-trator e :math:`\phi` é o ângulo de orientação relativa do semirreboque. *Modelo não linear* O vetor posição do centro de massa do caminhão-trator em relação ao ponto :math:`O` é .. math:: {\bf p}_{{\rm T}/{\rm O}} = x {\bf i} + y {\bf j}. :label: positionTractor O vetor posição do centro de massa do semirreboque é .. math:: {\bf p}_{{\rm S}/{\rm O}} = \left[ x - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + \left[ y - \left( b + c \right) \sin \psi - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}. :label: positionSemitrailer Derivando a equação :eq:`positionTractor` em relação ao tempo temos .. math:: {\bf v}_{\rm T} = \dot{x} {\bf i} + \dot{y} {\bf j}. :label: velocityTractor Derivando a equação :eq:`positionSemitrailer` em relação ao tempo temos .. math:: :label: velocitySemitrailer {\bf v}_{\rm S} &= \left[ \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ... \\ ... &+ \left[ \dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}. \\ O vetor velocidade angular do caminhão-trator é .. math:: {\bf w}_T = \dot{\psi} {\bf k}. :label: angulaVelTrailer O vetor velocidade angular do semirreboque é .. math:: {\bf w}_S = \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) {\bf k} :label: angulaVelSemir A energia cinética do sistema é .. math:: T = \frac{1}{2} m_{T} {\bf v}_{\rm T} \cdot {\bf v}_{\rm T} + \frac{1}{2} m_{S} {\bf v}_{\rm S} \cdot {\bf v}_{\rm S} + \frac{1}{2} \left\{ {\bf w}_T \right\}^T \left[ {\bf J}_T \right] \left\{ {\bf w}_T \right\} + \frac{1}{2} \left\{ {\bf w}_S \right\}^T \left[ {\bf J}_S \right] \left\{ {\bf w}_S \right\}. :label: kinEnergyGeneral Substituindo as equações :eq:`velocityTractor`, :eq:`velocitySemitrailer`, :eq:`angulaVelTrailer`, :eq:`angulaVelSemir` em :eq:`kinEnergyGeneral` temos .. math:: T = \frac{1}{2} m_{T} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) + \frac{1}{2} m_{S} \left( C_1^2 + C_2^2 \right) + \frac{1}{2} I_{T} \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} I_{S} \left( \dot{\psi} - \dot{\psi} \right)^2, :label: kinEnergyCoord onde .. math:: :label: constants C_1 &= \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \\ C_2 &= \dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right). Derivando a equação :eq:`constants` temos .. math:: :label: constantsTimeDiff \dot{C}_1 &= \ddot{x} + \left( b + c \right) \ddot{\psi} \sin \psi + \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi + d \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) \\ \dot{C}_2 &= \ddot{y} - \left( b + c \right) \ddot{\psi} \cos \psi + \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - d \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) As derivadas parciais da energia cinética do sistema (equação :eq:`kinEnergyCoord`) em relação às coordenadas generalizadas são .. math:: :label: lagrangePartialTerm \frac{\partial T}{\partial q_1} &= \frac{\partial T}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial q_2} &= \frac{\partial T}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial q_3} &= \frac{\partial T}{\partial \psi} &=& m_S C_1 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_2 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \\ \frac{\partial T}{\partial q_4} &= \frac{\partial T}{\partial \phi} = m_S C_1 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_2 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right]. As derivadas parciais da energia cinética do sistema em relação às derivadas temporais das coordenadas generalizadas são .. math:: :label: partialDiff \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_1} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = m_{T} \dot{x} + m_S C_1 \\ \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_2} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{y}} = m_{T} \dot{y} + m_S C_2 \\ \frac{\partial T}{\partial q_3} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}} &=& m_S C_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + I_T \dot{\psi} + I_S \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \\ \frac{\partial T}{\partial q_4} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}} = m_S C_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] - I_S \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right). Derivando as equações :eq:`partialDiff` em relação ao tempo temos .. math:: :label: lagrangeTimeTerm \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_1} \right) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \right) = m_{T} \ddot{x} + m_S \dot{C}_1 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_2} \right) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{y}} \right) = m_{T} \ddot{y} + m_S \dot{C}_2 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_3} \right) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}} \right) &=& m_S \dot{C}_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_1 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S \dot{C}_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_2 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ I_T \ddot{\psi} + I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_4} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}} \right) &=& m_S \dot{C}_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_1 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+& m_S \dot{C}_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_2 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] - ... \\ ... &+ - I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) A força no eixo dianteiro é dadas por .. math:: :nowrap: \begin{equation} {\bf F}_{\rm F} = F_{x,{\rm F}} {\bf e}_x + F_{y,{\rm F}} {\bf e}_x, \end{equation} que pode ser escrita como .. math:: {\bf F}_{\rm F} = \left[ F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) \right] {\bf i} + \left[ F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) \right] {\bf j}. :label: ForceFront A força no eixo traseiro é .. math:: :nowrap: \begin{equation} {\bf F}_{\rm R} = F_{x,{\rm R}} {\bf t}_x + F_{y,{\rm R}} {\bf t}_y \end{equation} ou .. math:: {\bf F}_{\rm R} = \left[ F_{x,{\rm R}} \cos \psi - F_{y,{\rm R}} \sin \psi \right] {\bf i} + \left[ F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{y,{\rm R}} \cos \psi \right] {\bf j}. :label: ForceRear A força no eixo do semirreboque é .. math:: :nowrap: \begin{equation} {\bf F}_{\rm M} = F_{x,{\rm M}} {\bf s}_x + F_{y,{\rm M}} {\bf s}_y \end{equation} ou .. math:: {\bf F}_{\rm M} = \left[ F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + \left[ F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}. :label: ForceSemi As forças generalizadas são .. math:: :nowrap: \begin{equation} Q_k = \sum_{j = 1} ^p {\bf F}_j \cdot \frac{\partial {\bf p}_j}{\partial q_k} \qquad \qquad \begin{array}{c} k = 1, 2, 3, 4 \\ j = {\rm F}, {\rm R}, {\rm M} \end{array}. \end{equation} Ou seja, .. math:: :label: generalizedForces Q_1 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_1} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_1} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_1} \\ Q_2 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_2} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_2} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_2} \\ Q_3 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_3} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_3} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_3}, \\ Q_4 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_4} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_4} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_4}. Os pontos de aplicação das forças são localizados por .. math:: :label: positionForce {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}} &= \left( x + a \cos \psi \right) {\bf i} + \left( y + a \sin \psi \right) {\bf j}. \\ {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}} &= \left( x - b \cos \psi \right) {\bf i} + \left( y - b \sin \psi \right) {\bf j}. \\ {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}} &= \left[ x - \left( b + c \right) \cos \psi - \left( d + e \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ... \\ ... &+ \left[ y - \left( b + c \right) \sin \psi - \left( d + e \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}. Logo, as derivadas parciais .. math:: :label: termGenFor1 \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_1} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial x} = {\bf i} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_2} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial y} = {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_3} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial \psi} = - a \sin \psi {\bf i} + a \cos \psi {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_4} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial \phi} = 0, .. math:: :label: termGenFor2 \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_1} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial x} = {\bf i} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_2} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial y} = {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_3} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial \psi} = b \sin \psi {\bf i} - b \cos \psi {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_4} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial \phi} = 0 e .. math:: :label: termGenFor3 \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_1} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial x} = {\bf i} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_2} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial y} = {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_3} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial \psi} &=& \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + \left( d + e \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ...\\ ... &+ \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - \left( d + e \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_4} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial \phi} = \left[ - \left( d + e \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + \left[ \left( d + e \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j} Substituindo as equações :eq:`ForceFront`, :eq:`ForceRear`, :eq:`ForceSemi`, :eq:`termGenFor1`, :eq:`termGenFor2` e :eq:`termGenFor3` nas equações :eq:`generalizedForces` temos .. math:: :label: generForces Q_1 &= F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) -...\\ ... &- F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ Q_2 &= F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ... \\ ... &- F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ Q_3 &= F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + ... \\ ... &+ F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] \\ Q_4 &= F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) A formulação de Euler-Lagrange para este sistema é dada por .. math:: \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k \qquad \qquad k = 1, 2, 3, 4, :label: lagrange Substituindo as equações :eq:`lagrangePartialTerm`, :eq:`lagrangeTimeTerm` e :eq:`generForces` em :eq:`lagrange` temos .. math:: m_{T} \ddot{x} + m_S \dot{C}_1 = Q_1 \\ m_{T} \ddot{y} + m_S \dot{C}_2 = Q_2 \\ m_S \dot{C}_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + &...& \\ ... + I_T \ddot{\psi} + I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) &=& Q_3 \\ m_S \dot{C}_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] - I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) = Q_4 .. math:: :label: equationOfMotionXY m_{T} \ddot{x} + m_S \dot{C}_1 &=& F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ...\\ ... &-& F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ m_{T} \ddot{y} + m_S \dot{C}_2 &=& F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ...\\ ... &-& F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ m_S \dot{C}_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... + I_T \ddot{\psi} + I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) = \\ F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] \\ m_S \dot{C}_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] - I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) = F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) Substituindo as equações :eq:`constantsTimeDiff` em :eq:`equationOfMotionXY` .. math:: :label: eqMotSem \left( m_{T} + m_S \right) \ddot{x} + m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ... \\ ... - F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) \\ \left( m_{T} + m_S \right) \ddot{y} - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ... \\ ... + F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) \\ m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{x} - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{y} + ...\\ ... + \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_T + I_S \right\} \ddot{\psi} - ... \\ ... - \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_S \right\} \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] - ... \\ - m_S \left( b + c \right) d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \phi + m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi\\ - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \ddot{x} + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \ddot{y} - \left\{ m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \right\} \ddot{\psi} + ... \\ \left( m_S d^2 + I_S \right) \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi \\ Os estado podem ser escolhidos como .. math:: {\rm z}_1 &= x \\ {\rm z}_2 &= y \\ {\rm z}_3 &= \psi \\ {\rm z}_4 &= \phi \\ {\rm z}_5 &= \dot{x} \\ {\rm z}_6 &= \dot{y} \\ {\rm z}_7 &= \dot{\psi} \\ {\rm z}_8 &= \dot{\phi} Logo, as equações de estado são \dot{{\rm z}}_1 &= {\rm z}_5 \\ \dot{{\rm z}}_2 &= {\rm z}_6 \\ \dot{{\rm z}}_3 &= {\rm z}_7 \\ \dot{{\rm z}}_4 &= {\rm z}_8 \\ \left( m_{T} + m_S \right) \dot{{\rm z}}_5 + m_S \left[ \left( b + c \right) \sin {\rm z}_3 + d \sin \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \right] \dot{{\rm z}}_7 - m_S d \sin \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \dot{{\rm z}}_8 = \\ F_{x,{\rm F}} \cos \left( {\rm z}_3 + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos {\rm z}_3 + F_{x,{\rm M}} \cos \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) - ... \\ ... - F_{y,{\rm F}} \sin \left( {\rm z}_3 + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin {\rm z}_3 - F_{y,{\rm M}} \sin \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \\ - m_S \left( b + c \right) {\rm z}_7^2 \cos {\rm z}_3 - m_S d \left( {\rm z}_7 - {\rm z}_8 \right)^2 \cos \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \\ \left( m_{T} + m_S \right) \dot{{\rm z}}_6 - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos {\rm z}_3 + d \cos \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \right] \dot{{\rm z}}_7 + m_S d \cos \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \dot{{\rm z}}_8 = \\ F_{x,{\rm F}} \sin \left( {\rm z}_3 + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin {\rm z}_3 + F_{x,{\rm M}} \sin \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) + ... \\ ... + F_{y,{\rm F}} \cos \left( {\rm z}_3 + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos {\rm z}_3 + F_{y,{\rm M}} \cos \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \\ - m_S \left( b + c \right) {\rm z}_7^2 \sin {\rm z}_3 - m_S d \left( {\rm z}_7 - {\rm z}_8 \right)^2 \sin \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \\ m_S \left[ \left( b + c \right) \sin {\rm z}_3 + d \sin \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \right] \dot{{\rm z}}_5 - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos {\rm z}_3 + d \cos \left( {\rm z}_3 - {\rm z}_4 \right) \right] \dot{{\rm z}}_6 + ...\\ ... + \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos {\rm z}_4 + d^2 \right] + I_T + I_S \right\} \dot{{\rm z}}_7 - ... \\ ... - \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos {\rm z}_4 + d^2 \right] + I_S \right\} \dot{{\rm z}}_8 = ... \\ ... F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin {\rm z}_4 + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos {\rm z}_4 + \left( d + e \right) \right] - ... \\ - m_S \left( b + c \right) d \left( {\rm z}_7 - {\rm z}_8 \right)^2 \sin {\rm z}_4 + m_S \left( b + c \right) d {\rm z}_7^2 \sin {\rm z}_4\\ - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \dot{{\rm z}}_5 + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \dot{{\rm z}}_6 - \left\{ m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \right\} \dot{{\rm z}}_7 + ... \\ \left( m_S d^2 + I_S \right) \dot{{\rm z}}_8 = ... \\ ... F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi \\ Em muitas ocasiões é conveniente fazer a substituição dos estados :math:`\dot{x}` e :math:`\dot{y}` por :math:`v_{\rm T}` e :math:`\alpha_{\rm T}`. A relação entre estes pares de estados é .. math:: :label: stateSubstitution \dot{x} &= v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ \dot{y} &= v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right). Derivando em relação ao tempo a equação :eq:`stateSubstitution` temos .. math:: :label: stateDiffSubstitution \ddot{x} &= \dot{v}_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) - v_{\rm T} \left( \dot{\psi} + \dot{\alpha}_{\rm T} \right) \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ \ddot{y} &= \dot{v}_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) + v_{\rm T} \left( \dot{\psi} + \dot{\alpha}_{\rm T} \right) \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right). Desta forma, substituindo as equações :eq:`stateDiffSubstitution` nas equações :eq:`eqMotSem` temos .. math:: :label: eqMovSubs \left( m_{T} + m_S \right) \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{v}_{\rm T} - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\alpha}_{\rm T} + ... \\ + m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ... \\ ... - F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) + \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi} \\ \left( m_{T} + m_S \right) \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{v}_{\rm T} + \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\alpha}_{\rm T} + ... \\ - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ...\\ ... + F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi}\\ - m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \alpha_{\rm T} + d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{v}_{\rm T} - m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{\alpha}_{\rm T} \\ ... + \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_T + I_S \right\} \ddot{\psi} - \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_S \right\} \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] - ... \\ - m_S \left( b + c \right) d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \phi + m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi + m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{\psi}\\ m_S d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{v}_{\rm T} + m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{\alpha}_{\rm T} - \left\{ m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \right\} \ddot{\psi} + ... \\ ... + \left( m_S d^2 + I_S \right) \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi - m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{\psi} Os estados podem ser escolhidos como .. math:: {\rm x}_1 &= x \\ {\rm x}_2 &= y \\ {\rm x}_3 &= \psi \\ {\rm x}_4 &= \phi \\ {\rm x}_5 &= \dot{v}_{\rm T} \\ {\rm x}_6 &= \dot{\alpha}_{\rm T} \\ {\rm x}_7 &= \dot{\psi} \\ {\rm x}_8 &= \dot{\phi} Na forma matricial o sistema da equação :eq:`eqMovSubs` pode ser escrito como .. math:: {\bf M} \left( {\bf x} \right) \dot{{\bf x}} = {\bf f} \left( {\bf x}, {\bf u} \right), :label: eqMovMatrix onde o vetor de estados é .. math:: {\bf x} = \left[ \begin{array}{c} {\rm x}_{1} \\ {\rm x}_{2} \\ {\rm x}_{3} \\ {\rm x}_{4} \\ {\rm x}_{5} \\ {\rm x}_{6} \\ {\rm x}_{7} \\ {\rm x}_{8} \end{array} \right] :label: stateVector e o vetor de entradas é .. math:: {\bf u} = \left[ \begin{array}{c} \delta \\ F_{x,{\rm F}} \\ F_{x,{\rm R}} \\ F_{x,{\rm M}} \\ F_{y,{\rm F}} \\ F_{y,{\rm R}} \\ F_{y,{\rm M}} \end{array} \right]. :label: inputVector A matriz :math:`{\bf M}` é dada por .. math:: {\bf M} = \left[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{55} & M_{56} & M_{57} & M_{58} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{65} & M_{66} & M_{67} & M_{68} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{75} & M_{76} & M_{77} & M_{78} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{85} & M_{86} & M_{87} & M_{88} \end{array} \right], :label: leftMatrix onde os elementros são .. math:: :label: leftMatrixElements M_{55} &= \left( m_{T} + m_S \right) \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{56} &= - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{57} &= m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \\ M_{58} &= - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \\ M_{65} &= \left( m_{T} + m_S \right) \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{66} &= \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{67} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \\ M_{68} &= m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \\ M_{75} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \alpha_{\rm T} + d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \\ M_{76} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \\ M_{77} &= m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_T + I_S \\ M_{78} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_S \\ M_{85} &= m_S d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \\ M_{86} &= m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \\ M_{87} &= - m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \\ M_{88} &= \left( m_S d^2 + I_S \right) As funções são dadas por .. math:: {\bf f} = \left[ \begin{array}{c} v_{\rm T} \cos \left(\psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ v_{\rm T} \sin \left(\psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ \dot{\psi} \\ \dot{\phi} \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 \\ f_8 \\ \end{array} \right], :label: functionNonlinear onde .. math:: :label: functionNonlinearElements f_{5} &=& F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ... \\ ... &-& F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) - ...\\ ... &-& m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) + \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi} \\ f_{6} &=& F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ... \\ ... &+& F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ ... &-& m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi}\\ f_{7} &=& F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - ... \\ ... &-& F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] - ... \\ ... &-& m_S \left( b + c \right) d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \phi + m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi + ... \\ ... &+& m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{\psi}\\ f_{8} = F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi - m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{\psi}. Portanto, o modelo não linear de veículo articulado é dado pelas equações :eq:`eqMovMatrix`, :eq:`stateVector`, :eq:`inputVector`, :eq:`leftMatrix`, :eq:`leftMatrixElements`, :eq:`functionNonlinear` e :eq:`functionNonlinearElements`. *Linearization* A equação não linear :eq:`eqMovMatrix` pode ser linearizada e escrita na forma matricial .. math:: {\bf E}\dot{{\bf x}} = {\bf A} {\bf x} + {\bf B} {\bf u}. :label: linearEq A linearização deste sistema pode ser feita para um veículo se movimentando em linha reta com uma determinada velocidade :math:`v_{\rm T} > 0`. Neste caso, os estados no ponto de operação são dados por .. math:: :label: opStates {\rm x}_{1,op} &= x_{op} = ? \\ {\rm x}_{2,op} &= y_{op} = ? \\ {\rm x}_{3,op} &= \psi_{op} = 0 \\ {\rm x}_{4,op} &= \phi_{op} = 0 \\ {\rm x}_{5,op} &= v_{{\rm T},op} = v_{{\rm T},0} \\ {\rm x}_{6,op} &= \alpha_{{\rm T},op} = 0 \\ {\rm x}_{7,op} &= \dot{\psi}_{op} = 0, \\ {\rm x}_{8,op} &= \dot{\phi}_{op} = 0. OBS: Os estados :math:`x` e :math:`y` não influenciam a dinâmica do sistema. O vetor do ponto de operação dos estados é .. math:: {\bf x}_{op} = \left[ \begin{array}{c} {\rm x}_{1,op} \\ {\rm x}_{2,op} \\ {\rm x}_{3,op} \\ {\rm x}_{4,op} \\ {\rm x}_{5,op} \\ {\rm x}_{6,op} \\ {\rm x}_{7,op} \\ {\rm x}_{8,op} \end{array} \right]. Neste ponto de operação dos estados, o ponto de operação da derivada dos estados é dada por .. math:: :label: opDiffStates \dot{{\rm x}}_{1,op} &= \dot{x}_{op} = v_{{\rm T},0} \\ \dot{{\rm x}}_{2,op} &= \dot{y}_{op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{3,op} &= \dot{\psi}_{op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{4,op} &= \dot{\phi}_{op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{5,op} &= \dot{v}_{{\rm T},op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{6,op} &= \dot{\alpha}_{{\rm T},op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{7,op} &= \ddot{\psi}_{op} = 0, \\ \dot{{\rm x}}_{8,op} &= \ddot{\phi}_{op} = 0. O vetor do ponto de operação da derivada dos estados é .. math:: \dot{{\bf x}}_{op} = \left[ \begin{array}{c} \dot{{\rm x}}_{1,op} \\ \dot{{\rm x}}_{2,op} \\ \dot{{\rm x}}_{3,op} \\ \dot{{\rm x}}_{4,op} \\ \dot{{\rm x}}_{5,op} \\ \dot{{\rm x}}_{6,op} \\ \dot{{\rm x}}_{7,op} \\ \dot{{\rm x}}_{8,op} \end{array} \right]. O ponto de operação das entradas é .. math:: :label: opInput \delta_{op} &= 0 \\ F_{x,{\rm F},op} &= 0 \\ F_{x,{\rm R},op} &= 0 \\ F_{x,{\rm M},op} &= 0 \\ F_{y,{\rm F},op} &= 0 \\ F_{y,{\rm R},op} &= 0 \\ F_{y,{\rm M},op} &= 0. O vetor do ponto de operação das entradas é .. math:: {\bf u}_{op} = \left[ \begin{array}{c} \delta_{op} \\ F_{x,{\rm F},op} \\ F_{x,{\rm R},op} \\ F_{y,{\rm F},op} \\ F_{y,{\rm R},op} \end{array} \right]. Expandindo em série de Taylor a equação :eq:`eqMovMatrix` e truncando nos termos de primeira ordem temos .. math:: \nabla{\bf g}\left( {\bf x}_{op}, \dot{{\bf x}}_{op}, {\bf u}_{op} \right) \left[ \begin{array}{c} {\bf x} - {\bf x}_{op} \\ \dot{{\bf x}} - \dot{{\bf x}}_{op} \\ {\bf u} - {\bf u}_{op} \end{array} \right] = \nabla{\bf f}\left( {\bf x}_{op}, \dot{{\bf x}}_{op}, {\bf u}_{op} \right) \left[ \begin{array}{c} {\bf x} - {\bf x}_{op} \\ \dot{{\bf x}} - \dot{{\bf x}}_{op} \\ {\bf u} - {\bf u}_{op} \end{array} \right], :label: TaylorSeries onde .. math:: {\bf g} = \left[ \begin{array}{c} {\rm g}_1 \\ {\rm g}_2 \\ {\rm g}_3 \\ {\rm g}_4 \\ {\rm g}_5 \\ {\rm g}_6 \\ {\rm g}_7 \\ {\rm g}_8 \end{array} \right]. :label: functiong é o lado esquerdo da equação :eq:`eqMovMatrix`, enquanto que o lado direito é dado por .. math:: {\bf f} = \left[ \begin{array}{c} {\rm f}_1 \\ {\rm f}_2 \\ {\rm f}_3 \\ {\rm f}_4 \\ {\rm f}_5 \\ {\rm f}_6 \\ {\rm f}_7 \\ {\rm f}_8 \end{array} \right]. :label: functionf O jacobiano das funções :eq:`functiong` e :eq:`functionf` é .. math:: \nabla {\bf g} &= \left[ \begin{array}{ccccccc} \frac{ \partial g_1 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial g_1 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial g_1 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial g_1}{\partial F_{y,{\rm R}}} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial g_8 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial g_8 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial g_8 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial g_8}{\partial F_{y,{\rm R}}} \end{array} \right] \\ \nabla {\bf f} &= \left[ \begin{array}{ccccccc} \frac{ \partial f_1 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial f_1 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial f_1 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial F_{y,{\rm R}}} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial f_8 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial f_8 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial f_8 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial f_8}{\partial F_{y,{\rm R}}} \end{array} \right]. Logo, as equações de movimento linearizadas são dadas por .. math:: (m_T + m_S) \dot{v}_{\rm T} &= F_{x,{\rm F}} + F_{x,{\rm R}} + F_{x,{\rm M}} \\ (m_T + m_S) v_{{\rm T},0} \dot{\alpha}_{\rm T} - m_S (b + c + d) \ddot{\psi} + m_S d \ddot{\phi} &= F_{y,{\rm F}} + F_{y,{\rm R}} + F_{y,{\rm M}} - (m_S + m_T) v_{{\rm T},0} \dot{\psi} \\ - m_S (b + c + c) v_{{\rm T},0} \dot{\alpha}_{\rm T} + \left[ I_T + I_S + m_S (b + c + d)^2 \right] \ddot{\psi} - \left[ I_S + m_S (d^2 + (b + c) d) \right] \ddot{\phi} = \\ F_{y,{\rm F}} a - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} (b + c + d + e) + m_S (b + c + d) v_{{\rm T},0} \dot{\psi} \\ m_S d v_{{\rm T},0} \dot{\alpha}_{\rm T} - (I_S + m_S (d^2 + (b + c) d)) \ddot{\psi} + (m_S d^2 + I_S) \ddot{\phi} = F_{y,{\rm M}} (d + e) - m_S d v_{{\rm T},0} \dot{\psi} É possível notar que quando o somatório das forças longitudinais é zero a velocidade :math:`v_{\rm T}` se mantém constante. As equações de estado são dadas por .. math:: :label: linearEqMot \dot{\rm x}_1 &= {\rm x}_5 \\ \dot{\rm x}_2 &= ({\rm x}_3 + {\rm x}_6) v_{{\rm T},0} \\ \dot{\rm x}_3 &= {\rm x}_7 \\ \dot{\rm x}_4 &= {\rm x}_8 \\ (mS + mT) \dot{\rm x}_5 &= FxF + FxM + FxR (m_T + m_S) v_{{\rm T},0} \dot{\rm x}_6 - m_S (b + c + d) \dot{\rm x}_7 + m_S d \dot{\rm x}_8 = F_{y,{\rm F}} + F_{y,{\rm R}} + F_{y,{\rm M}} - (m_S + m_T) v_{{\rm T},0} {\rm x}_7 - m_S (b + c + c) v_{{\rm T},0} \dot{\rm x}_6 + \left[ I_T + I_S + m_S (b + c + d)^2 \right] \dot{\rm x}_7 - \left[ I_S + m_S (d^2 + (b + c) d) \right] \dot{\rm x}_8 = \\ F_{y,{\rm F}} a - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} (b + c + d + e) + m_S (b + c + d) v_{{\rm T},0} {\rm x} \\ m_S d v_{{\rm T},0} \dot{\rm x}_6 - (I_S + m_S (d^2 + (b + c) d)) \dot{\rm x}_7 + (m_S d^2 + I_S) \dot{\rm x}_8 = F_{y,{\rm M}} (d + e) - m_S d v_{{\rm T},0} {\rm x}_7 Escrevendo a equação :eq:`linearEqMot` na forma matricial da pela equação :eq:`linearEq` a matriz :math:`{\bf E}` é dada por .. math:: {\bf E} = \left[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{55} & E_{56} & E_{57} & E_{58} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{65} & E_{66} & E_{67} & E_{68} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{75} & E_{76} & E_{77} & E_{78} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{85} & E_{86} & E_{87} & E_{88} \end{array} \right], :label: matrixE onde os elementros são .. math:: E_{55} &= \left( m_{T} + m_S \right) \\ E_{56} &= 0 \\ E_{57} &= 0 \\ E_{58} &= 0 \\ E_{65} &= 0 \\ E_{66} &= \left( m_S + m_T \right) v_{{\rm T},0} \\ E_{67} &= -m_S \left(b + c + d \right) \\ E_{68} &= d m_S \\ E_{75} &= 0 \\ E_{76} &= -m_S v_{{\rm T},0} \left( b + c + d \right) \\ E_{77} &= I_T + I_S + m_S (b + c + d)^2 \\ E_{78} &= - I_S - m_S \left[ d^2 + (b + c) d \right] \\ E_{85} &= 0 \\ E_{86} &= d m_S v_{{\rm T},0} \\ E_{87} &= - I_S - m_S \left[ d^2 + (b + c) d \right] \\ E_{88} &= m_S d^2 + I_S A matriz dinâmica do sistema é dada por .. math:: :label: matrixA {\bf A} = \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -(m_S + m_T) v_{{\rm T},0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_S (b + c + d) v_{{\rm T},0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - m_S d v_{{\rm T},0} & 0 \end{array} \right] .. math:: :label: matrixB {\bf B} = \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & - b & - (b + c + d + e) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d + e \end{array} \right] Portanto, o modelo linear de veículo articulado é dado pela equação :eq:`linearEq` com as matrizes dadas pelas equações :eq:`matrixE`, :eq:`matrixA` e :eq:`matrixB`. *Slip angles* A velocidade no eixo dianteiro é dada por .. math:: {\bf v}_{\rm F} = {\bf v}_{\rm T} + {\bf w}_T \wedge {\bf r}_{{\rm F}/{\rm T}}, onde :math:`{\bf r}_{{\rm F}/{\rm T}}` é o vetor posição do ponto :math:`{\rm F}` em relação ao ponto :math:`{\rm T}`. Logo, .. math:: {\bf v}_{\rm F} = \left( \dot{x} - a \dot{\psi} \sin \psi \right) {\bf i} + \left( \dot{y} + a \dot{\psi} \cos \psi \right) {\bf j}. :label: velocityVectorFront A velocidade no eixo traseiro é .. math:: {\bf v}_{\rm R} = {\bf v}_{\rm T} + {\bf w}_T \wedge {\bf r}_{{\rm R}/{\rm T}}, onde :math:`{\bf r}_{{\rm R}/{\rm T}}` é o vetor posição do ponto :math:`{\rm R}` em relação ao ponto :math:`{\rm T}`. Logo, .. math:: {\bf v}_{\rm R} = \left( \dot{x} + b \dot{\psi} \sin \psi \right) {\bf i} + \left( \dot{y} -b \dot{\psi} \cos \psi \right) {\bf j} :label: velocityVectorRear De maneira análoga, a velocidade do eixo do semirreboque é .. math:: :label: velocitySemi {\bf v}_{\rm M} &=& \left[ \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ... \\ ... &+& \left[ \dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}. Utilizando as equações :eq:`velocityVectorFront`, :eq:`velocityVectorRear` e :eq:`velocitySemi`, os ângulos de deriva podem ser escritos como .. math:: \alpha_{\rm F} = \arctan \left( \frac{\dot{y} + a \dot{\psi} \cos \psi}{ \dot{x} - a \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \left( \delta + \psi \right) :label: slipAngleFront .. math:: \alpha_{\rm R} = \arctan \left( \frac{\dot{y} - b \dot{\psi} \cos \psi}{ \dot{x} + b \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \psi .. math:: \alpha_{\rm R} = \arctan \left( \frac{\dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right)}{ \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right)} \right) - \left(\psi - \phi \right) :label: slipAngleRear Realizando a mudança de varíaveis proposta na equação :eq:`stateSubstitution`, os ângulos de deriva passam a ser .. math:: \alpha_{\rm F} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) + a \dot{\psi} \cos \psi}{ v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) - a \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \left( \delta + \psi \right) \\ \alpha_{\rm R} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) - b \dot{\psi} \cos \psi}{ v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) + b \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \psi \\ \alpha_{\rm M} &= Simplificando, temos que .. math:: :label: slipAngleSimple \alpha_{\rm F} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \alpha_{\rm T} + a \dot{\psi}}{ v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T}} \right) - \delta \\ \alpha_{\rm R} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \alpha_{\rm T} - b \dot{\psi}}{ v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T}} \right) \\ \alpha_{\rm M} &= ? Linearizando em torno do ponto de operação dado pelas equações :eq:`opStates`, :eq:`opDiffStates` e :eq:`opInput` temos .. math:: \alpha_{{\rm F},lin} &= \alpha_{{\rm T}} + \frac{a}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} - \delta \\ \alpha_{{\rm F},lin} &= \alpha_{{\rm T}} - \frac{b}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi}. \\ \alpha_{{\rm M},lin} &= *Linear tire* Linearizando o valor do dos ângulos de deriva em :eq:`slipAngleSimple` no mesmo ponto de operação temos Supondo uma lei de força linear para os pneu temos .. math:: :label: linearTire F_{y,{\rm F}} &= - K_{\rm F} \alpha_{\rm F} = - K_{\rm F} \alpha_{{\rm T}} - \frac{a K_{\rm F}}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} + K_{\rm F} \delta \\ F_{y,{\rm R}} &= - K_{\rm R} \alpha_{\rm R} = - K_{\rm R} \alpha_{{\rm T}} + \frac{b K_{\rm R}}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} Substituir as equações :eq:`linearTire` nas equações linearizadas em :eq:`linearModel` temos .. math:: f_{1,lin} &= \dot{x} = v_{\rm T} \\ f_{2,lin} &= \dot{y} = v_{{\rm T},0} \left( \psi + \alpha_{{\rm T}}\right) \\ f_{3,lin} &= \dot{\psi} = \dot{\psi} \\ f_{4,lin} &= \dot{v}_{\rm T} = \frac{F_{x,{\rm F}} + F_{x,{\rm R}}}{m_{T}} \\ f_{5,lin} &= \dot{\alpha}_{{\rm T}} = - \frac{K_{\rm F} + K_{\rm R}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \alpha_{{\rm T}} - \frac{m_{T} v_{{\rm T},0} + \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{v_{{\rm T},0}}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} + \frac{K_{\rm F}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \delta \\ f_{6,lin} &= \ddot{\psi} = - \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{I_{T}} \alpha_{{\rm T}} - \frac{a^2 K_{\rm F} + b^2 K_{\rm R}}{I_{T} v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} + \frac{a K_{\rm F}}{I_{T}} \delta Na forma matricial .. math:: \dot{{\bf x}} = {\bf A} {\bf x} + {\bf B} {\bf \hat{u}} Ou ainda .. math:: \left[ \begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\psi} \\ \dot{v}_{\rm T} \\ \dot{\alpha}_{\rm T} \\ \ddot{\psi} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{K_{\rm F} + K_{\rm R}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} & - \frac{m_{T} v_{{\rm T},0} + \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{v_{{\rm T},0}}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{I_{T}} & - \frac{a^2 K_{\rm F} + b^2 K_{\rm R}}{I_{T} v_{{\rm T},0}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ \psi \\ v_{\rm T} \\ \alpha_{\rm T} \\ \dot{\psi} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & \frac{1}{m_{T}} & \frac{1}{m_{T}} & \\ \frac{K_{\rm F}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} & 0 & 0 & \\ \frac{a K_{\rm F}}{I_{T}} & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \delta \\ F_{x,{\rm F}} \\ F_{x,{\rm R}} \end{array} \right]