Articulated vehicle models

The linear version of this model is described by equations ?? and the nonlinear version of this model is described by equations ??.

Description Bicycle model

Free body diagram

The center of gravity of the tractor and semitrailer are located at the point \(T\) and \(S\), respectively. The front and rear axles are located at the points \(F\) and \(R\), respectively. \(A\) is the articulation point and \(M\) is the axle of the semitrailer. The constant \(a\) measures the distance of point \(F\) to \(T\) and \(b\) the distance of point \(T\) to \(R\). The distance of the articulation from the rear axle of the tractor is given by \(c\). \(d\) and \(e\) are the distances from the semitrailer. The angles \(\alpha_F\) e \(\alpha_R\) are the front and rear slip angles, respectively. \(\alpha_T\) is the vehicle side slip angle and \(\psi\) is the vehicle yaw angle. \(\delta\) is the steering angle.

Este modelo escrito na forma:

\[{\bf M}({\bf x}) \dot{{\bf x}} = {\bf f}({\bf x})\]

Where \({\bf x}\) is the state vector, \({\bf M}({\bf x})\) the mass matrix and \({\bf f}({\bf x})\) is the vector function. Therefore, a function that allows the integration of the system with an explicit mass matrix is necessary. In this package the _ode45_ function is used. Details: ode45 (Mass matrix).

Articulated vehicle 4 DOF

O modelo físico do conjunto é ilustrado na figura ref{modelSimple}. Para caracterizar a dinâmica deste sistema é utilizada a base \(\Omega_{\rm O} = \{ {\rm O} {\bf i} {\bf j} {\bf k} \}\) fixa no referencial inercial. A base \(\Omega_{\rm T} = \{ {\rm T} {\bf t}_x {\bf t}_y {\bf t}_z \}\) é solidária ao caminhão-trator e a base \(\Omega_{\rm S} = \{ {\rm S} {\bf s}_x {\bf s}_y {\bf s}_z \}\) é solidária ao semirreboque. Os versores \({\bf t}_x\) e \({\bf s}_x\) apontam para frente na direção longitudinal de ambos os módulos e os versores \({\bf t}_y\) e \({\bf s}_y\) apontam para a esquerda. Para auxiliar a descrição das grandezas no eixo dianteiro é definida a base \(\Omega_{\rm F} = \{ {\rm F} {\bf e}_x {\bf e}_y {\bf e}_z \}\) solidária ao eixo dianteiro com o versor \({\bf e}_x\) apontando para frente na direção longitudinal do pneu e \({\bf e}_y\) apontando para a esquerda. Os pontos \({\rm T}\) e \({\rm S}\) localizam o centro da massa do caminhão-trator e do semirreboque, respectivamente. \({\rm F}\) e \({\rm R}\) localizam os eixos dianteiro e traseiro, respectivamente. \({\rm A}\) é o ponto de articulação e \({\rm M}\) é o eixo do semirreboque. O ponto \({\rm O}\) é a origem do sistema e se encontra fixo no referencial inercial. A distância \(a\) separa os pontos \({\rm F}\) e \({\rm T}\) e a distância \(b\) separa os pontos \({\rm T}\) e \({\rm R}\). \(c\) separa os pontos \({\rm R}\) e \({\rm A}\), \(d\) separa os pontos \({\rm A}\) e \({\rm S}\) e \(e\) separa os pontos \({\rm S}\) e \({\rm M}\). Os vetores velocidade \({\bf v}\) e os ângulos de deriva \(\alpha\) recebem os subscritos referentes aos pontos aos quais eles estão associados.

A modelagem do caminhão-trator e semirreboque consiste na utilização de dois corpos rígidos que se movimentam sobre um plano horizontal e são unidos por um ponto de articulação. Desta forma, o modelo apresenta quatro graus de liberdade. Portanto, as coordenadas generalizadas podem ser dadas por

\[\begin{split}q_1 &= x \\ q_2 &= y \\ q_3 &= \psi \\ q_4 &= \phi,\end{split}\]

onde \(x\) e \(y\) são as coordenadas longitudinal e transversal do centro de massa do caminhão-trator, respectivamente. \(\psi\) é o ângulo de orientação absoluta do caminhão-trator e \(\phi\) é o ângulo de orientação relativa do semirreboque.

Modelo não linear

O vetor posição do centro de massa do caminhão-trator em relação ao ponto \(O\) é

(1)\[{\bf p}_{{\rm T}/{\rm O}} = x {\bf i} + y {\bf j}.\]

O vetor posição do centro de massa do semirreboque é

(2)\[{\bf p}_{{\rm S}/{\rm O}} = \left[ x - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + \left[ y - \left( b + c \right) \sin \psi - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}.\]

Derivando a equação (1) em relação ao tempo temos

(3)\[{\bf v}_{\rm T} = \dot{x} {\bf i} + \dot{y} {\bf j}.\]

Derivando a equação (2) em relação ao tempo temos

(4)\[\begin{split}{\bf v}_{\rm S} &= \left[ \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ... \\ ... &+ \left[ \dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}. \\\end{split}\]

O vetor velocidade angular do caminhão-trator é

(5)\[{\bf w}_T = \dot{\psi} {\bf k}.\]

O vetor velocidade angular do semirreboque é

(6)\[{\bf w}_S = \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) {\bf k}\]

A energia cinética do sistema é

(7)\[T = \frac{1}{2} m_{T} {\bf v}_{\rm T} \cdot {\bf v}_{\rm T} + \frac{1}{2} m_{S} {\bf v}_{\rm S} \cdot {\bf v}_{\rm S} + \frac{1}{2} \left\{ {\bf w}_T \right\}^T \left[ {\bf J}_T \right] \left\{ {\bf w}_T \right\} + \frac{1}{2} \left\{ {\bf w}_S \right\}^T \left[ {\bf J}_S \right] \left\{ {\bf w}_S \right\}.\]

Substituindo as equações (3), (4), (5), (6) em (7) temos

(8)\[T = \frac{1}{2} m_{T} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) + \frac{1}{2} m_{S} \left( C_1^2 + C_2^2 \right) + \frac{1}{2} I_{T} \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} I_{S} \left( \dot{\psi} - \dot{\psi} \right)^2,\]

onde

(9)\[\begin{split}C_1 &= \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \\ C_2 &= \dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right).\end{split}\]

Derivando a equação (9) temos

(10)\[\begin{split}\dot{C}_1 &= \ddot{x} + \left( b + c \right) \ddot{\psi} \sin \psi + \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi + d \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) \\ \dot{C}_2 &= \ddot{y} - \left( b + c \right) \ddot{\psi} \cos \psi + \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - d \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right)\end{split}\]

As derivadas parciais da energia cinética do sistema (equação (8)) em relação às coordenadas generalizadas são

(11)\[\begin{split}\frac{\partial T}{\partial q_1} &= \frac{\partial T}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial q_2} &= \frac{\partial T}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial q_3} &= \frac{\partial T}{\partial \psi} &=& m_S C_1 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_2 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \\ \frac{\partial T}{\partial q_4} &= \frac{\partial T}{\partial \phi} = m_S C_1 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_2 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right].\end{split}\]

As derivadas parciais da energia cinética do sistema em relação às derivadas temporais das coordenadas generalizadas são

(12)\[\begin{split}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_1} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = m_{T} \dot{x} + m_S C_1 \\ \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_2} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{y}} = m_{T} \dot{y} + m_S C_2 \\ \frac{\partial T}{\partial q_3} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}} &=& m_S C_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + I_T \dot{\psi} + I_S \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \\ \frac{\partial T}{\partial q_4} &= \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}} = m_S C_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] - I_S \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right).\end{split}\]

Derivando as equações (12) em relação ao tempo temos

(13)\[\begin{split}\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_1} \right) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \right) = m_{T} \ddot{x} + m_S \dot{C}_1 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_2} \right) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{y}} \right) = m_{T} \ddot{y} + m_S \dot{C}_2 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_3} \right) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}} \right) &=& m_S \dot{C}_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_1 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S \dot{C}_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ m_S C_2 \left[ \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+ I_T \ddot{\psi} + I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_4} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}} \right) &=& m_S \dot{C}_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_1 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... &+& m_S \dot{C}_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S C_2 \left[ - d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] - ... \\ ... &+ - I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right)\end{split}\]

A força no eixo dianteiro é dadas por

\begin{equation} {\bf F}_{\rm F} = F_{x,{\rm F}} {\bf e}_x + F_{y,{\rm F}} {\bf e}_x, \end{equation}

que pode ser escrita como

(14)\[{\bf F}_{\rm F} = \left[ F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) \right] {\bf i} + \left[ F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) \right] {\bf j}.\]

A força no eixo traseiro é

\begin{equation} {\bf F}_{\rm R} = F_{x,{\rm R}} {\bf t}_x + F_{y,{\rm R}} {\bf t}_y \end{equation}

ou

(15)\[{\bf F}_{\rm R} = \left[ F_{x,{\rm R}} \cos \psi - F_{y,{\rm R}} \sin \psi \right] {\bf i} + \left[ F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{y,{\rm R}} \cos \psi \right] {\bf j}.\]

A força no eixo do semirreboque é

\begin{equation} {\bf F}_{\rm M} = F_{x,{\rm M}} {\bf s}_x + F_{y,{\rm M}} {\bf s}_y \end{equation}

ou

(16)\[{\bf F}_{\rm M} = \left[ F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + \left[ F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}.\]

As forças generalizadas são

\begin{equation} Q_k = \sum_{j = 1} ^p {\bf F}_j \cdot \frac{\partial {\bf p}_j}{\partial q_k} \qquad \qquad \begin{array}{c} k = 1, 2, 3, 4 \\ j = {\rm F}, {\rm R}, {\rm M} \end{array}. \end{equation}

Ou seja,

(17)\[\begin{split}Q_1 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_1} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_1} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_1} \\ Q_2 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_2} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_2} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_2} \\ Q_3 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_3} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_3} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_3}, \\ Q_4 &= {\bf F}_{\rm F} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_4} + {\bf F}_{\rm R} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_4} + {\bf F}_{\rm M} \cdot \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_4}.\end{split}\]

Os pontos de aplicação das forças são localizados por

(18)\[\begin{split}{\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}} &= \left( x + a \cos \psi \right) {\bf i} + \left( y + a \sin \psi \right) {\bf j}. \\ {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}} &= \left( x - b \cos \psi \right) {\bf i} + \left( y - b \sin \psi \right) {\bf j}. \\ {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}} &= \left[ x - \left( b + c \right) \cos \psi - \left( d + e \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ... \\ ... &+ \left[ y - \left( b + c \right) \sin \psi - \left( d + e \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}.\end{split}\]

Logo, as derivadas parciais

(19)\[\begin{split}\frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_1} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial x} = {\bf i} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_2} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial y} = {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_3} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial \psi} = - a \sin \psi {\bf i} + a \cos \psi {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial q_4} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm F}/{\rm O}}}{\partial \phi} = 0,\end{split}\]

(20)\[\begin{split}\frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_1} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial x} = {\bf i} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_2} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial y} = {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_3} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial \psi} = b \sin \psi {\bf i} - b \cos \psi {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial q_4} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm R}/{\rm O}}}{\partial \phi} = 0\end{split}\]

e

(21)\[\begin{split}\frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_1} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial x} = {\bf i} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_2} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial y} = {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_3} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial \psi} &=& \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + \left( d + e \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ...\\ ... &+ \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - \left( d + e \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j} \\ \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial q_4} &= \frac{\partial {\bf p}_{{\rm M}/{\rm O}}}{\partial \phi} = \left[ - \left( d + e \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + \left[ \left( d + e \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}\end{split}\]

Substituindo as equações (14), (15), (16), (19), (20) e (21) nas equações (17) temos

(22)\[\begin{split}Q_1 &= F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) -...\\ ... &- F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ Q_2 &= F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ... \\ ... &- F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ Q_3 &= F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + ... \\ ... &+ F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] \\ Q_4 &= F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right)\end{split}\]

A formulação de Euler-Lagrange para este sistema é dada por

(23)\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k \qquad \qquad k = 1, 2, 3, 4,\]

Substituindo as equações (11), (13) e (22) em (23) temos

\[\begin{split}m_{T} \ddot{x} + m_S \dot{C}_1 = Q_1 \\ m_{T} \ddot{y} + m_S \dot{C}_2 = Q_2 \\ m_S \dot{C}_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + &...& \\ ... + I_T \ddot{\psi} + I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) &=& Q_3 \\ m_S \dot{C}_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] - I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) = Q_4\end{split}\]

(24)\[\begin{split}m_{T} \ddot{x} + m_S \dot{C}_1 &=& F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ...\\ ... &-& F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ m_{T} \ddot{y} + m_S \dot{C}_2 &=& F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ...\\ ... &-& F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ m_S \dot{C}_1 \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ - \left( b + c \right) \cos \psi - d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] + ... \\ ... + I_T \ddot{\psi} + I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) = \\ F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] \\ m_S \dot{C}_1 \left[ - d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] + m_S \dot{C}_2 \left[ d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] - I_S \left( \ddot{\psi} - \ddot{\phi} \right) = F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right)\end{split}\]

Substituindo as equações (10) em (24)

(25)\[\begin{split}\left( m_{T} + m_S \right) \ddot{x} + m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ... \\ ... - F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) \\ \left( m_{T} + m_S \right) \ddot{y} - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ... \\ ... + F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) \\ m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{x} - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{y} + ...\\ ... + \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_T + I_S \right\} \ddot{\psi} - ... \\ ... - \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_S \right\} \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] - ... \\ - m_S \left( b + c \right) d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \phi + m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi\\ - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \ddot{x} + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \ddot{y} - \left\{ m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \right\} \ddot{\psi} + ... \\ \left( m_S d^2 + I_S \right) \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi \\\end{split}\]

Os estado podem ser escolhidos como

\[\begin{split}{\rm z}_1 &= x \\ {\rm z}_2 &= y \\ {\rm z}_3 &= \psi \\ {\rm z}_4 &= \phi \\ {\rm z}_5 &= \dot{x} \\ {\rm z}_6 &= \dot{y} \\ {\rm z}_7 &= \dot{\psi} \\ {\rm z}_8 &= \dot{\phi}\end{split}\]

Logo, as equações de estado são

dot{{rm z}}_1 &= {rm z}_5 \ dot{{rm z}}_2 &= {rm z}_6 \ dot{{rm z}}_3 &= {rm z}_7 \ dot{{rm z}}_4 &= {rm z}_8 \ left( m_{T} + m_S right) dot{{rm z}}_5 + m_S left[ left( b + c right) sin {rm z}_3 + d sin left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) right] dot{{rm z}}_7 - m_S d sin left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) dot{{rm z}}_8 = \ F_{x,{rm F}} cos left( {rm z}_3 + delta right) + F_{x,{rm R}} cos {rm z}_3 + F_{x,{rm M}} cos left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) - … \ … - F_{y,{rm F}} sin left( {rm z}_3 + delta right) - F_{y,{rm R}} sin {rm z}_3 - F_{y,{rm M}} sin left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) \ - m_S left( b + c right) {rm z}_7^2 cos {rm z}_3 - m_S d left( {rm z}_7 - {rm z}_8 right)^2 cos left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) \ left( m_{T} + m_S right) dot{{rm z}}_6 - m_S left[ left( b + c right) cos {rm z}_3 + d cos left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) right] dot{{rm z}}_7 + m_S d cos left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) dot{{rm z}}_8 = \ F_{x,{rm F}} sin left( {rm z}_3 + delta right) + F_{x,{rm R}} sin {rm z}_3 + F_{x,{rm M}} sin left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) + … \ … + F_{y,{rm F}} cos left( {rm z}_3 + delta right) + F_{y,{rm R}} cos {rm z}_3 + F_{y,{rm M}} cos left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) \ - m_S left( b + c right) {rm z}_7^2 sin {rm z}_3 - m_S d left( {rm z}_7 - {rm z}_8 right)^2 sin left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) \ m_S left[ left( b + c right) sin {rm z}_3 + d sin left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) right] dot{{rm z}}_5 - m_S left[ left( b + c right) cos {rm z}_3 + d cos left( {rm z}_3 - {rm z}_4 right) right] dot{{rm z}}_6 + …\ … + left{ m_S left[ left( b + c right)^2 + 2 left( b + c right) d cos {rm z}_4 + d^2 right] + I_T + I_S right} dot{{rm z}}_7 - … \ … - left{ m_S left[ left( b + c right) d cos {rm z}_4 + d^2 right] + I_S right} dot{{rm z}}_8 = … \ … F_{x,{rm F}} a sin delta + F_{x,{rm M}} left( b + c right) sin {rm z}_4 + F_{y,{rm F}} a cos delta - F_{y,{rm R}} b - F_{y,{rm M}} left[ left( b + c right) cos {rm z}_4 + left( d + e right) right] - … \ - m_S left( b + c right) d left( {rm z}_7 - {rm z}_8 right)^2 sin {rm z}_4 + m_S left( b + c right) d {rm z}_7^2 sin {rm z}_4\ - m_S d sin left( psi - phi right) dot{{rm z}}_5 + m_S d cos left( psi - phi right) dot{{rm z}}_6 - left{ m_S left[ d^2 + left( b + c right) d cos phi right] + I_S right} dot{{rm z}}_7 + … \ left( m_S d^2 + I_S right) dot{{rm z}}_8 = … \ … F_{y,{rm M}} left( d + e right) - m_S left( b + c right) d dot{psi}^2 sin phi \

Em muitas ocasiões é conveniente fazer a substituição dos estados \(\dot{x}\) e \(\dot{y}\) por \(v_{\rm T}\) e \(\alpha_{\rm T}\). A relação entre estes pares de estados é

(26)\[\begin{split}\dot{x} &= v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ \dot{y} &= v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right).\end{split}\]

Derivando em relação ao tempo a equação (26) temos

(27)\[\begin{split}\ddot{x} &= \dot{v}_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) - v_{\rm T} \left( \dot{\psi} + \dot{\alpha}_{\rm T} \right) \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ \ddot{y} &= \dot{v}_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) + v_{\rm T} \left( \dot{\psi} + \dot{\alpha}_{\rm T} \right) \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right).\end{split}\]

Desta forma, substituindo as equações (27) nas equações (25) temos

(28)\[\begin{split}\left( m_{T} + m_S \right) \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{v}_{\rm T} - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\alpha}_{\rm T} + ... \\ + m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ... \\ ... - F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) + \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi} \\ \left( m_{T} + m_S \right) \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{v}_{\rm T} + \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\alpha}_{\rm T} + ... \\ - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \ddot{\psi} + m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \ddot{\phi} = \\ F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ...\\ ... + F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ - m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi}\\ - m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \alpha_{\rm T} + d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{v}_{\rm T} - m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{\alpha}_{\rm T} \\ ... + \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_T + I_S \right\} \ddot{\psi} - \left\{ m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_S \right\} \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] - ... \\ - m_S \left( b + c \right) d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \phi + m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi + m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{\psi}\\ m_S d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{v}_{\rm T} + m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{\alpha}_{\rm T} - \left\{ m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \right\} \ddot{\psi} + ... \\ ... + \left( m_S d^2 + I_S \right) \ddot{\phi} = ... \\ ... F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi - m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{\psi}\end{split}\]

Os estados podem ser escolhidos como

\[\begin{split}{\rm x}_1 &= x \\ {\rm x}_2 &= y \\ {\rm x}_3 &= \psi \\ {\rm x}_4 &= \phi \\ {\rm x}_5 &= \dot{v}_{\rm T} \\ {\rm x}_6 &= \dot{\alpha}_{\rm T} \\ {\rm x}_7 &= \dot{\psi} \\ {\rm x}_8 &= \dot{\phi}\end{split}\]

Na forma matricial o sistema da equação (28) pode ser escrito como

(29)\[{\bf M} \left( {\bf x} \right) \dot{{\bf x}} = {\bf f} \left( {\bf x}, {\bf u} \right),\]

onde o vetor de estados é

(30)\[\begin{split}{\bf x} = \left[ \begin{array}{c} {\rm x}_{1} \\ {\rm x}_{2} \\ {\rm x}_{3} \\ {\rm x}_{4} \\ {\rm x}_{5} \\ {\rm x}_{6} \\ {\rm x}_{7} \\ {\rm x}_{8} \end{array} \right]\end{split}\]

e o vetor de entradas é

(31)\[\begin{split}{\bf u} = \left[ \begin{array}{c} \delta \\ F_{x,{\rm F}} \\ F_{x,{\rm R}} \\ F_{x,{\rm M}} \\ F_{y,{\rm F}} \\ F_{y,{\rm R}} \\ F_{y,{\rm M}} \end{array} \right].\end{split}\]

A matriz \({\bf M}\) é dada por

(32)\[\begin{split}{\bf M} = \left[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{55} & M_{56} & M_{57} & M_{58} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{65} & M_{66} & M_{67} & M_{68} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{75} & M_{76} & M_{77} & M_{78} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & M_{85} & M_{86} & M_{87} & M_{88} \end{array} \right],\end{split}\]

onde os elementros são

(33)\[\begin{split}M_{55} &= \left( m_{T} + m_S \right) \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{56} &= - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{57} &= m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \psi + d \sin \left( \psi - \phi \right) \right] \\ M_{58} &= - m_S d \sin \left( \psi - \phi \right) \\ M_{65} &= \left( m_{T} + m_S \right) \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{66} &= \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ M_{67} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) \cos \psi + d \cos \left( \psi - \phi \right) \right] \\ M_{68} &= m_S d \cos \left( \psi - \phi \right) \\ M_{75} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) \sin \alpha_{\rm T} + d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \\ M_{76} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \\ M_{77} &= m_S \left[ \left( b + c \right)^2 + 2 \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_T + I_S \\ M_{78} &= - m_S \left[ \left( b + c \right) d \cos \phi + d^2 \right] + I_S \\ M_{85} &= m_S d \sin \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \\ M_{86} &= m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \\ M_{87} &= - m_S \left[ d^2 + \left( b + c \right) d \cos \phi \right] + I_S \\ M_{88} &= \left( m_S d^2 + I_S \right)\end{split}\]

As funções são dadas por

(34)\[\begin{split}{\bf f} = \left[ \begin{array}{c} v_{\rm T} \cos \left(\psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ v_{\rm T} \sin \left(\psi + \alpha_{\rm T} \right) \\ \dot{\psi} \\ \dot{\phi} \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 \\ f_8 \\ \end{array} \right],\end{split}\]

onde

(35)\[\begin{split}f_{5} &=& F_{x,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \cos \psi + F_{x,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) - ... \\ ... &-& F_{y,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) - F_{y,{\rm R}} \sin \psi - F_{y,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) - ...\\ ... &-& m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \cos \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \cos \left( \psi - \phi \right) + \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi} \\ f_{6} &=& F_{x,{\rm F}} \sin \left( \psi + \delta \right) + F_{x,{\rm R}} \sin \psi + F_{x,{\rm M}} \sin \left( \psi - \phi \right) + ... \\ ... &+& F_{y,{\rm F}} \cos \left( \psi + \delta \right) + F_{y,{\rm R}} \cos \psi + F_{y,{\rm M}} \cos \left( \psi - \phi \right) \\ ... &-& m_S \left( b + c \right) \dot{\psi}^2 \sin \psi - m_S d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \left( \psi - \phi \right) - \left( m_{T} + m_S \right) v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) \dot{\psi}\\ f_{7} &=& F_{x,{\rm F}} a \sin \delta + F_{x,{\rm M}} \left( b + c \right) \sin \phi + F_{y,{\rm F}} a \cos \delta - ... \\ ... &-& F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} \left[ \left( b + c \right) \cos \phi + \left( d + e \right) \right] - ... \\ ... &-& m_S \left( b + c \right) d \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right)^2 \sin \phi + m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi + ... \\ ... &+& m_S \left[ \left( b + c \right) v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T} + d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \right] \dot{\psi}\\ f_{8} = F_{y,{\rm M}} \left( d + e \right) - m_S \left( b + c \right) d \dot{\psi}^2 \sin \phi - m_S d v_{\rm T} \cos \left( \alpha_{\rm T} + \phi \right) \dot{\psi}.\end{split}\]

Portanto, o modelo não linear de veículo articulado é dado pelas equações (29), (30), (31), (32), (33), (34) e (35).

Linearization

A equação não linear (29) pode ser linearizada e escrita na forma matricial

(36)\[{\bf E}\dot{{\bf x}} = {\bf A} {\bf x} + {\bf B} {\bf u}.\]

A linearização deste sistema pode ser feita para um veículo se movimentando em linha reta com uma determinada velocidade \(v_{\rm T} > 0\). Neste caso, os estados no ponto de operação são dados por

(37)\[\begin{split}{\rm x}_{1,op} &= x_{op} = ? \\ {\rm x}_{2,op} &= y_{op} = ? \\ {\rm x}_{3,op} &= \psi_{op} = 0 \\ {\rm x}_{4,op} &= \phi_{op} = 0 \\ {\rm x}_{5,op} &= v_{{\rm T},op} = v_{{\rm T},0} \\ {\rm x}_{6,op} &= \alpha_{{\rm T},op} = 0 \\ {\rm x}_{7,op} &= \dot{\psi}_{op} = 0, \\ {\rm x}_{8,op} &= \dot{\phi}_{op} = 0.\end{split}\]

OBS: Os estados \(x\) e \(y\) não influenciam a dinâmica do sistema.

O vetor do ponto de operação dos estados é

\[\begin{split}{\bf x}_{op} = \left[ \begin{array}{c} {\rm x}_{1,op} \\ {\rm x}_{2,op} \\ {\rm x}_{3,op} \\ {\rm x}_{4,op} \\ {\rm x}_{5,op} \\ {\rm x}_{6,op} \\ {\rm x}_{7,op} \\ {\rm x}_{8,op} \end{array} \right].\end{split}\]

Neste ponto de operação dos estados, o ponto de operação da derivada dos estados é dada por

(38)\[\begin{split}\dot{{\rm x}}_{1,op} &= \dot{x}_{op} = v_{{\rm T},0} \\ \dot{{\rm x}}_{2,op} &= \dot{y}_{op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{3,op} &= \dot{\psi}_{op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{4,op} &= \dot{\phi}_{op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{5,op} &= \dot{v}_{{\rm T},op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{6,op} &= \dot{\alpha}_{{\rm T},op} = 0 \\ \dot{{\rm x}}_{7,op} &= \ddot{\psi}_{op} = 0, \\ \dot{{\rm x}}_{8,op} &= \ddot{\phi}_{op} = 0.\end{split}\]

O vetor do ponto de operação da derivada dos estados é

\[\begin{split}\dot{{\bf x}}_{op} = \left[ \begin{array}{c} \dot{{\rm x}}_{1,op} \\ \dot{{\rm x}}_{2,op} \\ \dot{{\rm x}}_{3,op} \\ \dot{{\rm x}}_{4,op} \\ \dot{{\rm x}}_{5,op} \\ \dot{{\rm x}}_{6,op} \\ \dot{{\rm x}}_{7,op} \\ \dot{{\rm x}}_{8,op} \end{array} \right].\end{split}\]

O ponto de operação das entradas é

(39)\[\begin{split}\delta_{op} &= 0 \\ F_{x,{\rm F},op} &= 0 \\ F_{x,{\rm R},op} &= 0 \\ F_{x,{\rm M},op} &= 0 \\ F_{y,{\rm F},op} &= 0 \\ F_{y,{\rm R},op} &= 0 \\ F_{y,{\rm M},op} &= 0.\end{split}\]

O vetor do ponto de operação das entradas é

\[\begin{split}{\bf u}_{op} = \left[ \begin{array}{c} \delta_{op} \\ F_{x,{\rm F},op} \\ F_{x,{\rm R},op} \\ F_{y,{\rm F},op} \\ F_{y,{\rm R},op} \end{array} \right].\end{split}\]

Expandindo em série de Taylor a equação (29) e truncando nos termos de primeira ordem temos

(40)\[\begin{split}\nabla{\bf g}\left( {\bf x}_{op}, \dot{{\bf x}}_{op}, {\bf u}_{op} \right) \left[ \begin{array}{c} {\bf x} - {\bf x}_{op} \\ \dot{{\bf x}} - \dot{{\bf x}}_{op} \\ {\bf u} - {\bf u}_{op} \end{array} \right] = \nabla{\bf f}\left( {\bf x}_{op}, \dot{{\bf x}}_{op}, {\bf u}_{op} \right) \left[ \begin{array}{c} {\bf x} - {\bf x}_{op} \\ \dot{{\bf x}} - \dot{{\bf x}}_{op} \\ {\bf u} - {\bf u}_{op} \end{array} \right],\end{split}\]

onde

(41)\[\begin{split}{\bf g} = \left[ \begin{array}{c} {\rm g}_1 \\ {\rm g}_2 \\ {\rm g}_3 \\ {\rm g}_4 \\ {\rm g}_5 \\ {\rm g}_6 \\ {\rm g}_7 \\ {\rm g}_8 \end{array} \right].\end{split}\]

é o lado esquerdo da equação (29), enquanto que o lado direito é dado por

(42)\[\begin{split}{\bf f} = \left[ \begin{array}{c} {\rm f}_1 \\ {\rm f}_2 \\ {\rm f}_3 \\ {\rm f}_4 \\ {\rm f}_5 \\ {\rm f}_6 \\ {\rm f}_7 \\ {\rm f}_8 \end{array} \right].\end{split}\]

O jacobiano das funções (41) e (42) é

\[\begin{split}\nabla {\bf g} &= \left[ \begin{array}{ccccccc} \frac{ \partial g_1 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial g_1 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial g_1 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial g_1}{\partial F_{y,{\rm R}}} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial g_8 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial g_8 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial g_8 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial g_8}{\partial F_{y,{\rm R}}} \end{array} \right] \\ \nabla {\bf f} &= \left[ \begin{array}{ccccccc} \frac{ \partial f_1 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial f_1 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial f_1 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial F_{y,{\rm R}}} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial f_8 }{ \partial x } & \hdots & \frac{ \partial f_8 }{ \partial \dot{x} } & \hdots &\frac{ \partial f_8 }{ \partial \delta } & \hdots & \frac{\partial f_8}{\partial F_{y,{\rm R}}} \end{array} \right].\end{split}\]

Logo, as equações de movimento linearizadas são dadas por

\[\begin{split}(m_T + m_S) \dot{v}_{\rm T} &= F_{x,{\rm F}} + F_{x,{\rm R}} + F_{x,{\rm M}} \\ (m_T + m_S) v_{{\rm T},0} \dot{\alpha}_{\rm T} - m_S (b + c + d) \ddot{\psi} + m_S d \ddot{\phi} &= F_{y,{\rm F}} + F_{y,{\rm R}} + F_{y,{\rm M}} - (m_S + m_T) v_{{\rm T},0} \dot{\psi} \\ - m_S (b + c + c) v_{{\rm T},0} \dot{\alpha}_{\rm T} + \left[ I_T + I_S + m_S (b + c + d)^2 \right] \ddot{\psi} - \left[ I_S + m_S (d^2 + (b + c) d) \right] \ddot{\phi} = \\ F_{y,{\rm F}} a - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} (b + c + d + e) + m_S (b + c + d) v_{{\rm T},0} \dot{\psi} \\ m_S d v_{{\rm T},0} \dot{\alpha}_{\rm T} - (I_S + m_S (d^2 + (b + c) d)) \ddot{\psi} + (m_S d^2 + I_S) \ddot{\phi} = F_{y,{\rm M}} (d + e) - m_S d v_{{\rm T},0} \dot{\psi}\end{split}\]

É possível notar que quando o somatório das forças longitudinais é zero a velocidade \(v_{\rm T}\) se mantém constante.

As equações de estado são dadas por

(43)\[\begin{split}\dot{\rm x}_1 &= {\rm x}_5 \\ \dot{\rm x}_2 &= ({\rm x}_3 + {\rm x}_6) v_{{\rm T},0} \\ \dot{\rm x}_3 &= {\rm x}_7 \\ \dot{\rm x}_4 &= {\rm x}_8 \\ (mS + mT) \dot{\rm x}_5 &= FxF + FxM + FxR (m_T + m_S) v_{{\rm T},0} \dot{\rm x}_6 - m_S (b + c + d) \dot{\rm x}_7 + m_S d \dot{\rm x}_8 = F_{y,{\rm F}} + F_{y,{\rm R}} + F_{y,{\rm M}} - (m_S + m_T) v_{{\rm T},0} {\rm x}_7 - m_S (b + c + c) v_{{\rm T},0} \dot{\rm x}_6 + \left[ I_T + I_S + m_S (b + c + d)^2 \right] \dot{\rm x}_7 - \left[ I_S + m_S (d^2 + (b + c) d) \right] \dot{\rm x}_8 = \\ F_{y,{\rm F}} a - F_{y,{\rm R}} b - F_{y,{\rm M}} (b + c + d + e) + m_S (b + c + d) v_{{\rm T},0} {\rm x} \\ m_S d v_{{\rm T},0} \dot{\rm x}_6 - (I_S + m_S (d^2 + (b + c) d)) \dot{\rm x}_7 + (m_S d^2 + I_S) \dot{\rm x}_8 = F_{y,{\rm M}} (d + e) - m_S d v_{{\rm T},0} {\rm x}_7\end{split}\]

Escrevendo a equação (43) na forma matricial da pela equação (36) a matriz \({\bf E}\) é dada por

(44)\[\begin{split}{\bf E} = \left[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{55} & E_{56} & E_{57} & E_{58} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{65} & E_{66} & E_{67} & E_{68} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{75} & E_{76} & E_{77} & E_{78} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & E_{85} & E_{86} & E_{87} & E_{88} \end{array} \right],\end{split}\]

onde os elementros são

\[\begin{split}E_{55} &= \left( m_{T} + m_S \right) \\ E_{56} &= 0 \\ E_{57} &= 0 \\ E_{58} &= 0 \\ E_{65} &= 0 \\ E_{66} &= \left( m_S + m_T \right) v_{{\rm T},0} \\ E_{67} &= -m_S \left(b + c + d \right) \\ E_{68} &= d m_S \\ E_{75} &= 0 \\ E_{76} &= -m_S v_{{\rm T},0} \left( b + c + d \right) \\ E_{77} &= I_T + I_S + m_S (b + c + d)^2 \\ E_{78} &= - I_S - m_S \left[ d^2 + (b + c) d \right] \\ E_{85} &= 0 \\ E_{86} &= d m_S v_{{\rm T},0} \\ E_{87} &= - I_S - m_S \left[ d^2 + (b + c) d \right] \\ E_{88} &= m_S d^2 + I_S\end{split}\]

A matriz dinâmica do sistema é dada por

(45)\[\begin{split}{\bf A} = \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -(m_S + m_T) v_{{\rm T},0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_S (b + c + d) v_{{\rm T},0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - m_S d v_{{\rm T},0} & 0 \end{array} \right]\end{split}\]

(46)\[\begin{split}{\bf B} = \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & - b & - (b + c + d + e) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d + e \end{array} \right]\end{split}\]

Portanto, o modelo linear de veículo articulado é dado pela equação (36) com as matrizes dadas pelas equações (44), (45) e (46).

Slip angles

A velocidade no eixo dianteiro é dada por

\[{\bf v}_{\rm F} = {\bf v}_{\rm T} + {\bf w}_T \wedge {\bf r}_{{\rm F}/{\rm T}},\]

onde \({\bf r}_{{\rm F}/{\rm T}}\) é o vetor posição do ponto \({\rm F}\) em relação ao ponto \({\rm T}\). Logo,

(47)\[{\bf v}_{\rm F} = \left( \dot{x} - a \dot{\psi} \sin \psi \right) {\bf i} + \left( \dot{y} + a \dot{\psi} \cos \psi \right) {\bf j}.\]

A velocidade no eixo traseiro é

\[{\bf v}_{\rm R} = {\bf v}_{\rm T} + {\bf w}_T \wedge {\bf r}_{{\rm R}/{\rm T}},\]

onde \({\bf r}_{{\rm R}/{\rm T}}\) é o vetor posição do ponto \({\rm R}\) em relação ao ponto \({\rm T}\). Logo,

(48)\[{\bf v}_{\rm R} = \left( \dot{x} + b \dot{\psi} \sin \psi \right) {\bf i} + \left( \dot{y} -b \dot{\psi} \cos \psi \right) {\bf j}\]

De maneira análoga, a velocidade do eixo do semirreboque é

(49)\[\begin{split}{\bf v}_{\rm M} &=& \left[ \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf i} + ... \\ ... &+& \left[ \dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right) \right] {\bf j}.\end{split}\]

Utilizando as equações (47), (48) e (49), os ângulos de deriva podem ser escritos como

(50)\[\alpha_{\rm F} = \arctan \left( \frac{\dot{y} + a \dot{\psi} \cos \psi}{ \dot{x} - a \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \left( \delta + \psi \right)\]

\[\alpha_{\rm R} = \arctan \left( \frac{\dot{y} - b \dot{\psi} \cos \psi}{ \dot{x} + b \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \psi\]

(51)\[\alpha_{\rm R} = \arctan \left( \frac{\dot{y} - \left( b + c \right) \dot{\psi} \cos \psi - \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \cos \left( \psi - \phi \right)}{ \dot{x} + \left( b + c \right) \dot{\psi} \sin \psi + \left( d + e \right) \left( \dot{\psi} - \dot{\phi} \right) \sin \left( \psi - \phi \right)} \right) - \left(\psi - \phi \right)\]

Realizando a mudança de varíaveis proposta na equação (26), os ângulos de deriva passam a ser

\[\begin{split}\alpha_{\rm F} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) + a \dot{\psi} \cos \psi}{ v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) - a \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \left( \delta + \psi \right) \\ \alpha_{\rm R} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) - b \dot{\psi} \cos \psi}{ v_{\rm T} \cos \left( \psi + \alpha_{\rm T} \right) + b \dot{\psi} \sin \psi} \right) - \psi \\ \alpha_{\rm M} &=\end{split}\]

Simplificando, temos que

(52)\[\begin{split}\alpha_{\rm F} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \alpha_{\rm T} + a \dot{\psi}}{ v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T}} \right) - \delta \\ \alpha_{\rm R} &= \arctan \left( \frac{v_{\rm T} \sin \alpha_{\rm T} - b \dot{\psi}}{ v_{\rm T} \cos \alpha_{\rm T}} \right) \\ \alpha_{\rm M} &= ?\end{split}\]

Linearizando em torno do ponto de operação dado pelas equações (37), (38) e (39) temos

\[\begin{split}\alpha_{{\rm F},lin} &= \alpha_{{\rm T}} + \frac{a}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} - \delta \\ \alpha_{{\rm F},lin} &= \alpha_{{\rm T}} - \frac{b}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi}. \\ \alpha_{{\rm M},lin} &=\end{split}\]

Linear tire

Linearizando o valor do dos ângulos de deriva em (52) no mesmo ponto de operação temos

Supondo uma lei de força linear para os pneu temos

(53)\[\begin{split}F_{y,{\rm F}} &= - K_{\rm F} \alpha_{\rm F} = - K_{\rm F} \alpha_{{\rm T}} - \frac{a K_{\rm F}}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} + K_{\rm F} \delta \\ F_{y,{\rm R}} &= - K_{\rm R} \alpha_{\rm R} = - K_{\rm R} \alpha_{{\rm T}} + \frac{b K_{\rm R}}{v_{{\rm T},0}} \dot{\psi}\end{split}\]

Substituir as equações (53) nas equações linearizadas em (21) temos

\[\begin{split}f_{1,lin} &= \dot{x} = v_{\rm T} \\ f_{2,lin} &= \dot{y} = v_{{\rm T},0} \left( \psi + \alpha_{{\rm T}}\right) \\ f_{3,lin} &= \dot{\psi} = \dot{\psi} \\ f_{4,lin} &= \dot{v}_{\rm T} = \frac{F_{x,{\rm F}} + F_{x,{\rm R}}}{m_{T}} \\ f_{5,lin} &= \dot{\alpha}_{{\rm T}} = - \frac{K_{\rm F} + K_{\rm R}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \alpha_{{\rm T}} - \frac{m_{T} v_{{\rm T},0} + \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{v_{{\rm T},0}}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} + \frac{K_{\rm F}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \delta \\ f_{6,lin} &= \ddot{\psi} = - \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{I_{T}} \alpha_{{\rm T}} - \frac{a^2 K_{\rm F} + b^2 K_{\rm R}}{I_{T} v_{{\rm T},0}} \dot{\psi} + \frac{a K_{\rm F}}{I_{T}} \delta\end{split}\]

Na forma matricial

\[\dot{{\bf x}} = {\bf A} {\bf x} + {\bf B} {\bf \hat{u}}\]

Ou ainda

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\psi} \\ \dot{v}_{\rm T} \\ \dot{\alpha}_{\rm T} \\ \ddot{\psi} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 & v_{{\rm T},0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{K_{\rm F} + K_{\rm R}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} & - \frac{m_{T} v_{{\rm T},0} + \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{v_{{\rm T},0}}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{a K_{\rm F} - b K_{\rm R}}{I_{T}} & - \frac{a^2 K_{\rm F} + b^2 K_{\rm R}}{I_{T} v_{{\rm T},0}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ \psi \\ v_{\rm T} \\ \alpha_{\rm T} \\ \dot{\psi} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & \frac{1}{m_{T}} & \frac{1}{m_{T}} & \\ \frac{K_{\rm F}}{m_{T} v_{{\rm T},0}} & 0 & 0 & \\ \frac{a K_{\rm F}}{I_{T}} & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \delta \\ F_{x,{\rm F}} \\ F_{x,{\rm R}} \end{array} \right]\end{split}\]